TD 7 ECS : Espaces vectoriels, applications linéaires.

Exercice 1
Déterminer lesquels desensembles suivants sont des espacesvectoriels .

$E_1 =\{ (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\ \mid \ x+y - z=0 \} $

$E_2 =\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\ \mid \ x^2-z^2=0 \} $

$E_3=\{ (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\ \mid \ x+y-z=x+y+z=0 \} $

$E_4 =\{ (x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3\ \mid \ z(x^2+y^2)=0 \} $

$ E_5 =\left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x+y=0 \hbox{ et } x +3az =0\right\}$

$ E_6=\left\{f \in {\mathcal F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f(1/2)=1/2\right\}$

$ E_7 =\left\{f \in {\mathcal F}(\mathbb{R},\mathbb{R}) \mid f(0)=4\right\}$

$E_8=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x + y +3 \geqslant 0\right\}$

$E_9=\{f\in { \mathbb{R}}^{ \mathbb{R}}/ f \mbox{ est croissante}\}.$

Indication

Exercice 2
On considère dans $\mathbb{R}^n$ une famille de $4$ vecteurs linéairement indépendants : $({e_1}, {e_2}, {e_3}, {e_4})$.
Les familles suivantes sont-elles libres ?

1. $({e_1}, 2{e_2}, {e_3})$.
   
2. $({e_1}, {e_3})$.
   
3. $({e_1}, 2{e_1}+{e_4}, {e_4})$.
   
   

Indication

On utilise le fait qu'une sous famille d'une famille libre est libre.

Exercice 3 Soient $n\in \mathbb{N}^*$, $k \in [|0,n|]$ et soit $f_{k} : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ la fonction définie par $$ \begin{cases} f_k(x)= 1 & \text{ si } x = k \\ f_k(x)= 0 & \text{ si } x \neq k \end{cases} .$$ Montrer que la famille $ (f_k)_{k \in [|0,n|]}$ est libre.

Indication

On évalue la combinaison linéaire des $f_i$, $i=0,1,..n$ en $k\in [|0,n|]$.

Exercice 4 Etudier suivant la valeur de $a \in \mathbb{R}$ l’indépendance linéaire des vecteurs $e_1 = (1, a, -1), e_2 = (a, 1, a), e_3 = (-1, a, 1)$.

Indication

Résolution d'un système.

Exercice 5 Soit $a\in \mathbb{R} $. Vérifier que $E_a =\left\{ P\in \mathbb{R}_n[x]; (X-a)/P\right\} $ est un sev de $\mathbb{R}_n[X]$

Indication

Exercice 6

1. Montrer que l’ensemble des suites réelles qui convergent est un sous espaces vectoriel de l’ensemble des suites réels
   
2. Montrer que l'ensemble des suites constantes et l'ensemble des suites convergeant
   vers $0$ sont des sous-espaces supplémentaires dans l’ensemble des suites qui convergent.
   ( deux s.e.v $F$ et $G$ sont dits supplémentaires lorsque $F\cap G=\{0\}$ et tout élément de $E$ s’ecrit comme somme de d’un élément de $F$ et un élément de $G$).
   

Indication

Si on a $u_n \to l$ alors $(u_n-l)_n+(l)_n$ est une décomposition.

Exercice 7 Dans l'espace $\mathbb{R}_5[X]$ , on définit les sous-ensembles~:
$E_1=\{P\in\mathbb{R}_5[X] \mid P(0)=0\}$
$E_2=\{P\in\mathbb{R}_5[X] \mid P'(1)=0\}$
$E_3=\{P\in\mathbb{R}_5[X] \mid x^2+1 \mbox{ divise } P\}$
$E_4=\{P\in\mathbb{R}_5[X] \mid x\mapsto P(x) \mbox{ est une fonction paire}\}$
$E_5=\{P\in\mathbb{R}_5[X] \mid \forall x,\; P(x)=xP'(x)\}$.

1. Montrer que les ensembles $E_1$, $E_2$, $E_3$,$E_4$, $E_5$. sont des sous espaces vectoriels de $\mathbb{R}_5$.
   
2. Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels $E_1$, $E_2$, $E_3$,$E_4$, $E_5$.
   
   

Indication

Exercice 8 Étudier l'indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.

1. $(1,0,0)$, $(0,1,1)$, $(1,1,1)$ dans $\mathbb{R}^3$.
   
2. $(1,2,1,2,1)$, $(2,1,2,1,2)$, $(1,0,1,1,0)$, $(0,1,0,0,1)$ dans $\mathbb{R}^5$.
   
3. $(2,1,3,-1,4,-1)$, $(-1,1,-2,2,-3,3)$, $(1,5,0,4,-1,7)$ dans $\mathbb{R}^6$.
   

Indication

On procède ainsi:
Lorsque $(v_1,..v_n)$ est liée il existe nécessairement $i\in [[1,n]]$ tel que $v_i\in vect(v_k)_{k\in[[1,n]]-\{i\}}$.
On a alors $vect(v_k)_{k\in[[1,n]]-\{i\}}=vect(v_k)_{k\in[[1,n]]}$, on refait la même chose sur la nouvelle sous famille génératrice jusqu'a obtenir une famille libre, c'est alors la base cherchée.

Exercice 9 Dans $\mathbb{R}^4$, on considère les familles de vecteurs suivantes

1. $v_1=(1,0,1,4)$, $v_2=(0,1,1,-1)$, $v_3=(3,4,5,2)$.
   
2. $v_1=(3,3,3,3)$, $v_2=(0,2,4,-2)$, $v_3=(1/2,0,-1,3/2)$,
   $v_4=(2,1,0,-1)$, $v_5=(4,3,2,1)$.
   
   
3. $v_1=(1,2,3,4)$, $v_2=(0,1,2,-1)$, $v_3=(2,1,0,0)$, $v_4=(3,4,5,1)$
   
   vérifier si ces vecteurs forment-ils une famille libre, liée, génératrice.

Indication

Exercice 10 Soit $n \in { \mathbb{N}}$ et $E={ \mathbb{R}}_{n}[X]$,

1. Soit $\beta=(P_{0},P_{1},...,P_{n})$ un syst\`eme de $(n+1)$ polyn\^omes tels que, $\forall k$,
   $0\le k \le n$, $\text{deg}\,P_{k}=k$. Montrer que $\beta$ est une base de $E$.
   
2. Soit $P$ un polyn\^ome de degr\'e $n$. Montrer que : $\gamma=(P,P',\ldots,P^{(n)})$ est une base
   de $E$ et d\'eterminer les composantes du polyn\^ome $Q$ d\'efini par : $Q(X)=P(X+a)$, ($a$ r\'eel
   fix\'e), dans la base $\gamma$.
   
   

Indication

2. cordonné de $P(X+\alpha) $
On a :
$P ( X + \alpha ) = \sum _ { i = 0 } ^ { n } a _ { i } \sum _ { k = 0 } ^ { i } \left( \begin{array} { l } { i } \\ { k } \end{array} \right) X ^ { i - k } \alpha ^ { k }$
par changement de variable on obtient :
$P ( X + \alpha )= \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { i = k } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { i } \\ { k } \end{array} \right) a _ { i } X ^ { i - k } \alpha ^ { k }$
ce qui donne :
$P ( X + \alpha ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \alpha ^ { k } } { k ! } \sum _ { i = k } ^ { n }\frac{i!}{(i-k)!} a _ { i } X ^ { i - k }$
d'autre part on a $P^{(k)}=\sum _ { i = k } ^ { n }\frac{i!}{(i-k)!} a _ { i } X ^ { i - k }$

Exercice 11 Pour tout $ a \in [|0,n|]$ on définit l’application $f_a$ par : $$ \begin{array}{c c c c} f_a:& \mathbb{R}& \to & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & e^{ax} \end{array} $$ Monter que la famille des applications réelles $(f_a)_{a\in [|0,n|]}$ est libre dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.

Indication

Si $(\lambda_0,..,\lambda_n)$ est tel que $\lambda_0f_0+\lambda_1 f_1+..+\lambda_n f_n=0$ alors pour tout réel $x$, $e^x$ est racine du polynôme $P=\lambda_0+\lambda_1 X+..+\lambda_n X^n$, on en déduit P est nul.

Exercice 12 Montrer qu'il existe une unique forme lin\'eaire $f$ sur $\mathbb{R}^2$ telle que $f (1 ,1) = 3$ et $f (0, 2) = 5$. Déterminer le noyau et l'image de $f$.

Indication

Tout vecteur v de $\mathbb{R}^2$ s'écrit de façon unique $v=x(1,1)+y(0,2)$ (car ((1,1),(0,2)) est une base de $\mathbb{R}^2$ on peut alors déduire l'unicité de $f$ et l'image du vecteur $v$ par $f$ en utilisant la linéarité.

Exercice 13 Les applications suivantes sont-elles applications linéaires.
$ { f _ { 1 } : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } } $
$ { f _ { 1 } ( x , y ) = ( 2 x + y , x - y ) } $
${ f _ { 2 } : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } } & { f _ { 2 } ( x , y , z ) = ( x y , x , y ) } $ ${ f _ { 3 } : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } } { f _ { 3 } ( x , y , z ) = ( 2 x + y + z , y - z , x + y ) } $ $ { f _ { 4 } : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 4 } } , { f _ { 4 } ( x , y ) = ( y , 0 , x - 7 y , x + y ) } $ ${ f _ { 5 } : \mathbb { R } _ { 3 } [ X ] \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } } & { f _ { 5 } ( P ) = ( P ( - 1 ) , P ( 0 ) , P ( 1 ) ) } $

Indication

Exercice 1 Soit l'application $f : \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 }$ donnée par : $f ( x , y , z ) = ( x - y +2 z , 2 x + y -3 z , - x - y +z )$

1. Justifier que $f$ est linéaire.
   
2. Déterminer le noyau et l’image de $f$.
   
3. $f$ est elle injective, surjective?
   

Indication

Exercice 14

1. Donner une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb { C }$ .
   
2. Montrer que tout endomorphisme de $\mathbb{C}$ peut se mettre sous la forme: $f ( z ) = a z + b \overline { z } ,$ avec $a , b \in \mathbb { C }$
   
3. Donner une condition necessaire et suffisante sur $a$ et $b$ pour que l’endemorphisme $f$ soit bijectif.
   
   

Indication

2.remarquer que $f(z)=Re(z)f(1)+Im(z)f(i)$, puis écrire $Re(z)$ et $Im(z)$ en fonction de $z$ et $\overline{z} $
3. l'équation $Z=az+b\overline{z}$ d'inconnu $z$, donne un système d'équations linéaires d'inconnus $Re(z)$ et $Im(z)$, la condition pour laquelle $Z$ a unique antécédent par $f$ est la même condition pour laquelle le système a unique solution.

Exercice 15 Soit $\psi $ l’application définit par: $$\begin{array} { c c c c } \psi : &{ \mathbb{R}_n[X] } & { \rightarrow } & { \mathbb { R }[X] } \\ {} & P(X) & { \mapsto } & P(X)-P(X+1) \end{array}$$

1. Montrer que $\psi$ est un endemorphisme d’espace vectoriel.
   
2. Déterminer l’image de $\psi$.
   
3. Déterminer le noyau de $\psi$.
   
4. $\psi$ est elle injective, surjective?
   
5. Donner une base de $\ker \psi$ et de $\Im \psi$.
   
   

Indication

Voici un lien de correction, mais en ce moment pour la classe ECS on doit le faire sans théorème du rang.
Question 3 et 5 :
On a $P ( X ) - P ( X + 1 ) = - \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \left( \sum _ { i = k _ { + 1 } } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { i } \\ { k } \end{array} \right) a _ { i } \right) X ^ { k }$ ,(1)
Donc $\Im \psi \subset \mathbb{R}_{n-1}[X] $.
Réciproquement si $Q\in \mathbb{R}_{n-1}[X] $ de coefficients $b_k$ , $k=0,..n-1$.
le système $\sum _ { i = k + 1 } ^ { n } \left( \begin{array} { l } { i } \\ { k } \end{array} \right) x _ { i } = b _ { k }$ ; $k\in[[0,n-1]]$ est de cramer (chaque valeur de $k$ donne une équation, c'est un système triangulaire). donc admet unique solution $(a_1,...a_n)$, ce qui assure d'après (1) l'existence de $P\in\mathbb{R}_{n}[X] $ de coefficients $a_i$ , $i=0,..,n$ avec $a_0$ est quelcoque, tel que $P(X)-P(X+1)=Q$

Exercice 16 Soit: $$\begin{aligned} f : \mathbb { C } & \rightarrow \quad \mathbb { C } \\ z & \mapsto z + a \overline { z } \end{aligned}$$ avec $a$ complexe non nul.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$.
   
2. $f$ est il endomorphisme du $\mathbb{C}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$?
   

Indication

Exercice 17 Soient $f : E \rightarrow F , g : F \rightarrow G$, deux applications linéaire. Montrer que : $$g \circ f = 0 \Longleftrightarrow \Im f \subset \ker g$$

Indication

$g(f(x))=0 \iff f(x)\in \ker g$, on peut en déduire.

Exercice 18 Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel admettant une base finie, montrer que toute application linéaire définie sur $E$ est compléttement définie par les images des vecteurs de la base.

Indication