TD ECS 8: Analyse réelle

Continuité

Exercice 1
Étudier l'existence de la limite de f en $x_0$ dans les cas suivants :

1. $f(x)=\frac{x- \lfloor x \rfloor }{\sqrt{|x|}}$ en $x_0=0$;
   
2. $f(x)=\sqrt{x^2+x+1}- x$ en $+\infty$
   
3. $f(x)=\sin x \lfloor \frac{1}{x} \rfloor$ en $x_0=0$.
   
4. $f(x)=\lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor $ en $+\infty$
   
5. $f(x)=\frac{x\ln x +7}{x^2+4} $ en $+\infty$.
   
6. $f(x)=\frac{\sqrt{x+\sqrt{x\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}$. en $x_0=+\infty$
   

Indication

1. quand x est voisin de 0 à droite sa partie entière est 0 , et quand x est voisin de 0 à gauche sa partie entière est -1. On peut donc calculer les limites à gauche et à droite.

Exercice 2 Déterminer $D_f $ l'ensmble définition de $f$, étudier sa continuité, puis dire si elle est prolongeable par continuité en $x_0$:

1. $f(x)=\frac{\sqrt{x+2}-2}{1-\sqrt{3x-5}} $. en $x_0=2$.
   
2. $f(x)=\sin x \sin(\frac{1}{x})$ en $x_0=0$.
   
3. $f(x)=\cos x \cos(\frac{1}{x})$ en $x_0=0$.
   

Indication

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Exercice 3 Étudier la continuité de la fonction : $g(x)=\frac{1}{\ln |x|} $ si $x\notin \{0,-1,1\}$ et $g(x)=0$ sinon.

Indication

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Exercice 4 Soit \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=\lfloor x\rfloor+\sqrt{x-\lfloor x]} .\) Etudier la continuité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) .

Indication

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Exercice 5 Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de 0 telle que $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(x)=0$ et $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$, montrer que $\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0 $.

Indication

On montre que \(\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}}\left|g\left(\frac{x}{2^{k+1}}\right)\right|+\left|\frac{f\left(x / 2^{n}\right)}{x}\right|\)
Avec \(g(x)=\frac{f(2 x)-f(x)}{x}\), pour $\epsilon$ fixé par continuité de $g$ on a $g(x)<\epsilon /2$ lorsque $x$ voisin de $0$, on peut alors montrer que \(\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2^{k+1}}\left|g\left(\frac{x}{2^{k+1}}\right)\right|< \epsilon /2\) lorsque $x$ est voisin de $0$. On obtient pour tout entier natural non nul : \(\left|\frac{f(x)}{x}\right| \leqslant \frac{\varepsilon}{2}+\left|\frac{f\left(x / 2^{n}\right)}{x}\right|\) lorsque $x$ voisin de $0$, on peut en déduire en faisant tendre $n$ vers l'infini.

Exercice 6 Soit $f\in \mathbb{R}_+^*\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction croissante telle que $x\mapsto \frac{f(x)}{x}$ est décroissante.

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^*_+$.
   
2. Montrer que si $\exists a \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $f(a)\neq 0$ alors $\forall x \in \mathbb{R}_+^*\,,f(x)\neq 0$
   

Indication

1. par croissance de $f$ et décroissance de $f(x)/x$ on a $f(x_0)\leq f(x) \leq x/x_0 f(x_0)$ pour tout $x\geq x_0$. du même si $x\leq x_0$

Exercice 7 Soit $f$ une fonction périodique sur $\mathbb{R}$ admettant une limite en $+\infty$, que dire de la fonction $f$ ?

Indication

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Exercice 8 Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ à valeur dans $\mathbb{Z}$, montrer que $f$ est constante.

Indication

Si $f$ prend deux valeurs entières différentes m et n. D'après tvi tout réel non entier entre m et n est pris par f.

Exercice 9 Soit \(f :[0,1] \rightarrow[0,1] \) , continue.

1. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*},\) l'équation \(f(x)=x^{n}\) admet au moins une solution dans \([0,1]\) .
   
2. On suppose que $f$ est strictement décroissante, montrer que \(\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=1\) avec $u_n$ solution de \(f(x)=x^{n}\).
   

Indication

1. TVI
2. $g_n: x \mapsto =f(x)-x^n$ est strictement décroissante. et comme $g_{n+1}(u_n)=f(u_n)-u_n^{n+1}\geq g_n(u_n)=g_{n+1}(u_{n+1})=0$, on en déduit que $u_n \leq u_{n+1}$, donc (u_n) croissante majorée. il reste à montrer que sa lmiite est 1.

Exercice 10[Point fixe]

1. Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]$ dans lui même, montrer que $f$ admet un point
   fixe.
   
   
2. Soit $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ continue et décroissante.
   Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
   
3. Soit \(f : \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}\) continue. On suppose que \(x \mapsto \frac{f(x)}{x}\) admet une limite finie \(l<1 .="" admet="" d="" en="" f="" fixe.="" infty="" li="" montrer="" point="" que="" un=""> Soit \(f :[0,1] \rightarrow \mathbb{R},\) continue, telle que \([0,1] \subset f([0,1]) .\) Montrer que \(f\) posséde un point fixe.
   

Indication

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Exercice 11 Soit $f$ continue sur $\mathbb{R}_+$ telle que, pour tout réel positif $x$, on ait $f(x^2)=f(x)$. Montrer que $f$ est constante sur $\mathbb{R}_+$.

Indication

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Exercice 12 Soit $A$ une partie non vide de $\mathbb{R}$ Montrer que $x\mapsto d(x,A)=inf(\{|x-a|/\, a\in A\}$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Indication

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Exercice 13 Soit $f$ continue de $[0,1]$ dans lui même vérifiant $f(0)=f(1)=1$, montrer que: $\exists \alpha \in ]0,1[$ tel que $f([0,\alpha])=f([\alpha,1])$

Indication

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Exercice 14 soient $f,g\in \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, telles que $f$ bornée et $g$ continue, montrer que $f \circ g$ et $g \circ f$ sont bornées.

Indication

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Exercice 15 Soit $f:[a, +\infty [\rightarrow \mathbb{R}$ de limite nulle en $+\infty$, et $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction périodique. On suppose que $f + g$ est croissante. Montrer que g est constante

Indication

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Exercice 16 Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues définies de $I$ dans $\mathbb{R}$, telles que $\forall x \in I,\in |f(x)|=|g(x)|$, montrer que $f=g$ ou $f=-g$.

Indication

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Exercice 17 soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ continue telle que $\forall x \in \mathbb{R}$, $ f \left( \frac{x+1}{2} \right) =f(x) $. montrer que $f$ est constante.

Indication

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Dérivation

Exercice 18 Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes en $0$.

1. \(f(x)=|x| \sin x\),
   
2. \(g(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x \sin (x) \sin (1 / x)} & {\text { si } x \neq 0} \\ {0} & {\text { si } x=0}\end{array}\right.\).
   

Indication

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Exercice 19 Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}{x^{3} \sin \left(\frac{1}{x}\right)} & {x \neq 0} \\ {0} & {x=0}\end{array}\right.$$ est de classe $C^1$.

Indication

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Exercice 20 Montrer que \(f\) définit une bijection de I sur un intervalle que l'on déterminera. Trouver sa bijection réciproque.

1. \(f(x)=\frac{x}{1+|x|}\) sur \(I=\mathbb{R} ; \quad\)
   
2. \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x+x^{2}}}\) sur \(I=\left[-\frac{1}{2},+\infty[\right.\)
   
3. \(f(x)=\frac{2 x^{2}+x+2}{x^{2}+1}\) sur \(I=[1,+\infty[\)
   

Indication

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Exercice 21 Soit $f\in C^1([a,b],\mathbb{R})$ tel que : $\dfrac{f(a)-f(b)}{a-b}=sup_{x\in [a,b]}(f'(x))$ montrer que $f$ est affine.

Indication

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Exercice 22 Soit $f$ une fonction continue $[a,+\infty[$ dérivable sur $]a,+\infty[$t elle que $f(a)=\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$ montrer qu’il existe $c\in[a,+\infty[ $ tel que $f’(c)=0$

Indication

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Exercice 23 Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ une fonction bornée et dérivable telle que $\lim\limits_{x\to+\infty}f’(x)=l$ . Montrer que $l=0$ .

Indication

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Exercice 24[Théorème de Darboux] Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Montrer que $f’(I)$ est un intervalle.

Indication

il suffit de montrer que pour $ a < b $ dans $I$ tout toute valeur entre $f'(a)$ et $f'(b)$ est prise par l'une des fonctions \( \varphi(t)=\frac{f(t)-f(a)}{t-a}\) ou \(\psi(t)=\frac{f(b)-f(t)}{b-t}\) pour un certain $t\in [a,b]$. Ces deux fonctions sont continues ( par prolongement ), on peut donc prouver que $\varphi ( [a,b]) \cup \psi([a,b])$ est un intervalle qui contient $f'(a)$ et $f'(b)$.

Exercice 25[TAF généralisé] Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a, b]$ et dérivables sur $]a, b[$. Montrer qu’il existe $c\in ]a,b[$ tel que $ (g(b)-g(a))f’(c)=f(b)-f(a))g’(c)$

Indication

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Exercice 26[Suite récurrente] Etudier la suite $(u_n)$ définie par :

1. $u_0=1$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}$
   
2. $u_0>0$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\frac{1}{2} \left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)$
   
3. $u_0\in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}= \frac{u_n^3+1}{3}$
   
4. $u_0\in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}= e^{u_n}-1$
   
5. $u_0\in \mathbb{R}^*$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}= 1+\frac{1}{4}\sin \frac{1}{u_n}$
   
6. $u_0\in [-1,1]$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}= \frac{1}{10}(e^{-u_n}-u_n)$
   
7. $u_0\in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}= \sin(u_n)$
   
8. $u_0\in \mathbb{R}$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}= \cos(u_n)$
   

Indication

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Intégration

Exercice 27 Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

1. $x \mapsto \arctan (x)$
   
2. $x \mapsto(\ln x)^2 $
   
3. $x \mapsto \sin (\ln x)$
   
4. $x \mapsto \frac{\ln x}{x} $
   
5. $ x \mapsto \cos (\sqrt{x})$
   

Indication

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Exercice 28 Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

1. $x \mapsto \frac{1}{x^{3}-1}$
   
2. $x \mapsto \frac{x^{3}+2 x}{x^{2}+x+1}$
   
3. $x \mapsto \frac{1}{x^{3}-7 x+6}$
   
4. $x \mapsto \frac{4 x^{2}}{x^{4}-1}$
   
   

Indication

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Exercice 29 Déterminer une primitive des fonctions suivantes :

1. \(x \mapsto \sin ^{5} x \quad\)
   
2. \(x \mapsto \cos ^{4} x \sin ^{2} x \quad\)
   
3. \(x \mapsto \cos (3 x) \cos ^{3} x\)
   

Indication

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Exercice 30 Soit \(f :[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) continue telle que, pour tout \(x \in[a, b],\) on a \(f(a+b-x)=f(x) .\) Montrer que $$\int_{a}^{b} x f(x) d x=\frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) d x$$ En déduire la valeur de \(I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)

Indication

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Exercice 31 Pour tout \(n \in \mathbb{N},\) on pose \(I_{n}=\frac{1}{n !} \int_{0}^{1}(1-t)^{n} e^{t} \mathrm{d} t\)

1. Calculer \(I_{0}\) et \(I_{1}\) .
   
2. Montrer: \(\forall n \in \mathbb{N}, 0 \leq I_{n} \leq \frac{\ell}{n !}\) . En déduire la limite de \(\left(I_{n}\right) .\)
   
3. Montrer: \(\forall n \in \mathbb{N}, I_{n+1}=I_{n}-\frac{1}{(n+1) !}\)
   
4. Montrer: \(\forall n \in \mathbb{N}, I_{n}=e-\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\) .
   
5. En déduire la limite de \(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) .
   

Indication

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Exercice 32 Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} \backslash\{1\}\) par \(g(x)=\frac{1}{x-1} \int_{1}^{x} \frac{t^{2}}{1+t^{8}} \mathrm{d} t\).\\ Montrer que \(g\) est prolongeable par continuité au point 1 et donner la valeur en 1 de ce prolongement.

Indication

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Exercice 33[Inégalité de Cauchy-Schwarz] Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un segment \([a, b]\)

1. Justifier que \(P : \lambda \in \mathbb{R} \mapsto \int_{a}^{b}(\lambda f(x)+g(x))^{2}\) dx est une fonction polynômiale de la variable réelle \(\lambda\) . Que dire du signe de \(P ?\)
   
2. En déduire l'inégalité \(\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq\left(\int_{a}^{b} f(x)^{2} \mathrm{d} x\right)\left(\int_{a}^{b} g(x)^{2} \mathrm{d} x\right)\)
   

Indication

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Exercice 34 Soit \(f :[0,1] \rightarrow \mathbb{R},\) continue, telle que \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} .\) Montrer qu'il existe \(c \in[0,1]\) tel que \(f(c)=c\).

Indication

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Exercice 35 Montrer que \(: \forall x \in \mathbb{R}, \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{d} t=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\)

Indication

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