TD 8 ECS: Suites numériques

Exercice 1 (Terme général)
Déterminer le terme général de la suite $(u_n)$ dans chacun des cas:

1. $u_0=2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=u_{n}+4$
   
2. $u_0=3$, et pour tout $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+1}=\frac{1}{3} u_{n}$
   
3. $u_0=1$, $u_1=2$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$: $u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n$
   
   

Indication

Exercice 2
Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq1}$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ par:

1. $u_n=\frac{\sin n}{n} $
   
2. $u_n=\frac{(\ln n ) (\sin n )}{n}$
   
3. $u_n=\frac{n+(-1)^n}{3n+4}$
   
4. $u_n=\frac{n^3+n}{n^2+ \ln n}$
   
5. $u_n=\frac{\ln (n!)}{n^2}$
   
6. $u_n=\frac{\ln (1+n+e^n)}{e^{\sqrt{n}}}$
   

Indication

Exercice 3
Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq1}$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ par:

1. $u_n= \frac{1}{n!} \sum\limits_{k=1}^{n}k! $
   
2. $u_n= \frac{n}{n! \sqrt{n}} $
   
3. $u_n= \sqrt{n} \ln\left( \frac{\sqrt{n}+1}{ \sqrt{n} -1} \right) $
   

Indication

Exercice 4 (Décomposition en éléments simples)
    Calculer la limite de la suite $u$ définie par:

1. $\forall n \geq 2,\; u_n= \sum\limits_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2 -1} $
   
2. $\forall n \in \mathbb{N} ,\; u_n= \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k^2 +3k+2} $
   

Indication

Exercice 5 (Somme harmonique)
 Montrer que $v_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \rightarrow +\infty $.

Indication

$(v_n)$ est croissante, si elle est majorée donc convergente mais on a $v_{2n}-v_{n}\geq 1/2$.
Autre méthode : On peut aussi montrer que $ln(n+1)\leq v_n$

Exercice 6 (Série de Grandi )
Étudier la convergence la suite de terme général $v_n=\sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k$.

Indication

Exercice 7
Étudier la convergence de la suite $u$ définie par:

1. $\forall n \geq 2,\; u_n= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{n}{n+k} $
   
2. $\forall n \in \mathbb{N}^*,\; u_n= \sum\limits_{k=0}^{2n+1} \frac{n}{n^2+k} $
   
3. $\forall n \in \mathbb{N},\; u_n= \sum\limits_{k=0}^{2n+1} \frac{(-1)^k}{k+1} $
   

Indication

Exercice 8
Soit $\theta \in \mathbb{R}$ tel que $\theta $ n'est pas congru à $0$ modulo $\pi$. On pose $ u_n =\cos(n\theta)$ et $ v_n = \sin(n\theta )$

1. Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement si $(v_n)$ converge.
   
2. En déduire que les deux suites sont divergentes.
   

Indication

2. par l'absurde supposer que $u_n \to l$ et $v_n\to l'$. Une formule trigonométrique concernant $\sin (n\theta+\theta)+\sin (n\theta-\theta)$ permet de déduire que $l=0$, une autre formule pour $\sin (n\theta+\theta)$ permet de déduire que $l'=0$, mais on a $l^2+{l'}^2=1$

Exercice 9
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de réels possédant les propriétés suivantes :

• $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ est décroissante.
  
• Pour tout entier $n\in \mathbb{N}$, on a $1\leq u_n \leq v_n.$
  
• $\frac{u_n}{v_n}\rightarrow 1.$
  
  

Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Indication

Exercice 10 (Suite convergente à valeurs dans une partie discrète)

1. Montrer que toute suite périodique convergente est constante.
   
2. Montrer que toute suite convergente à valeur dans une partie finie est stationnaire.
   
3. Montrer que toute suite convergente à valeur dans $\mathbb{Z}$ est stationnaire.
   

Indication

1. pour $p\geq 0$, on a $\forall n\geq 0$, $u_p=u_{p+nT}$ $T$ est la periode. en faisant tendre $n$ vers l'infini on a bien le résultat.
2. l'idée est de choisir une distance $\epsilon$ qui permet déduire qu'a partir un rang $u_n$ ne prend qu'une seule valeur, par exemple $\epsilon=1/2 \min_i(|l-x_i|)$, ici les $x_i$ sont les valeurs finies prises par $(u_n)$, et $l$ est la limite de $(u_n)$.
3. par le même principe, posons $l$ la limite de $(u_n)$.
Montrer d'abord que $l$ est entier: si $l$ n'est pas entier alors $\exists k \in \mathbb{N}$ tel que $l\in]k,k+1[$, si on de choisit $\epsilon=1/2\min(l-k,k+1-l)$, alors les valeurs prises par la suite a partir d'un rang ne sont pas entiers.
Montrer maintenant que $(u_n)$ est stationnaire, Puisque $l$ est entier on choisit $\epsilon=1/2$, alors a partir d'un rang $u_n=l$.

Exercice 11 (limite isolée)
Soit $(u_n)$ une suite convergente de limite réelle $l$, on suppose que $\exists \epsilon > 0$ tel que $]l- \epsilon,l+\epsilon[\cap \{u_n,\, n\in \mathbb{N}\}=\{l\} $. \\ Montrer que $(u_n)$ est stationnaire.

Indication

Pour le $\epsilon$ doné dans l'exercice, il existe un rang $N\in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq N$, $u_n\in ]l-\epsilon, l+\epsilon[$, il suffit donc de déduire que $(u_n)$ est constante à partir du rang $N$ en utilisant la propriété que $l$ vérifie.

Exercice 12 (Partie entière)
Soit $(u_n)$ une suite réelle.

1. On suppose que $(u_n)$ converge. La suite $(\lfloor u_n \rfloor)$ est-elle convergente?
   
2. On suppose que La suite $(\lfloor u_n \rfloor)$ converge. La suite $ (u_n) $ est-elle convergente?
   
3. Montrer que si $(\lfloor u_n \rfloor)$ est convergente alors $\exists k\in \mathbb{Z}$,$\exists N \in\mathbb{N}$ tel que $\forall n\geq N$, $u_n \in [k,k+1[$
   

Indication

1. Bien sur non, prenez $u_n=\frac{(-1)^n}{n}$
2. Aussi non, une suite non convergente à valeur dans $]k,k+1[$ répond à la question.
3. Appliquer question 3 de l'exercice 10 à $(\lfloor u_n \rfloor)$, puis revenez à la suite $(u_n)$.

Exercice 13
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $0\leq u_n \leq 1,\, 0\leq v_n \leq 1$ et $ u_nv_n\rightarrow 1.$ Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers 1.

Indication

Facultatif                                            

Exercice 14 (Segments emboités)
Soit $\left( [a_n,b_n] \right)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de segments telle que:

• [$\bullet$] $\forall n\in \mathbb{N},\; [a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$
  
• [$\bullet$] $b_n-a_n\rightarrow 0$
  

Montrer que $\cap_{n \in \mathbb{N}} [a_n,b_n] $ est un singleton.

Indication

Exercice 15 (Moyenne de Cesàro)
Soit $(u_n)_{ n \in {\mathbb{N}}^* }$ une suite réelle, et $(v_n)_{ n \in {\mathbb{N}}^* }$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}^*$ par\\ $v_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n} u_k $. Montrer que si $u_n\rightarrow l \in \overline{\mathbb{R}}$ alors $v_n\rightarrow l$

Indication

Exercice 16  (Lemme de l'Escalier)
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ une suite réelle et $l\in \mathbb{R}$

1. montrer que si $u_{n+1}-u_n\rightarrow l \in \mathbb{R}$, alors $\frac{u_n}{n}\rightarrow l$
   
2. En déduire que si $(u_n)_{n\in \mathbb{N}^*}$ à termes strictement positifs et $\frac{u_{n+1}}{u_n}\rightarrow l$ alors $\sqrt[n]{u_n}\rightarrow l$
   
3. En déduire la limite de $\left(\binom{2n}{n}^{\frac{1}{n}}\right)_{n\in \mathbb{N}^*}$
   

Indication

Exercice 17
Soit $(u_n)$ une suite de réels bornée. Démontrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.

Indication

Exercice 18 (Oral X)
Soit $(u_n)_{ n \in {\mathbb{N}}^* }$ définie par $u_1 = 1$, $u_2 = u_3 = 2$, $u_4 = u_5 = u_6 = 3$, etc. Elle prend une fois la valeur 1, deux fois la valeur 2, trois fois la valeur 3 et ainsi de suite. Donner une expression du terme général (à l’aide de la fonction partie entière).

Indication