ECS TD6 Matrices et système d'équations linéaires

Exercice 1
\begin{array} { l } { \text { Soit } A = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \cdot \text { Calculer } A ^ { 2 } \text { et vérifier que } A ^ { 2 } = A + 2 I _ { 3 } } \\ { \text { ou } I _ { 3 } \text { est la matrice identité } 3 \times 3 . \text { En dédure que } A \text { est inversible et calculer son } } \\ { \text { inverse. } } \end{array}

Indication

il suffit d'écrire $1/2(A\times(A-I_3))=I_3$, puis en déduire l'inverse.

Exercice 2
$\text { 1 } { \text {Soit } A = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } &{1}\end{array} \right)}$ $ \text { et soit } B = A - I _ { 3 } $
${ \text { (a) Calculer } B ^ { 2 } , B ^ { 3 } \text { en déduire } B ^ { n } , \text { pour tout entier naturel } n } $
${ \text { (b) En déduire } A ^ { n } \text { Pour tout entier } n . } $
$\text { 2. Soit } A = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . \text { Pour tout entier } n , \text { calculer } A ^ { n } \text { en utilisant } A-I_4
$

Indication

Il suffit de développer $A^n=(B+I_3)^n$ et utiliser le fait que $B^n$ s'annule à partir d'un rang $n\in\mathbb{N}$

Exercice 3
$\begin{array} { l } { \text { Soit } A = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 2 } & { 0 } \end{array} \right) . \text { Calculer } A ^ { 3 } - A . \text { En déduire que } A \text { est inver- } } \\ { \text { sible puis déterminer } A ^ { - 1 } } \end{array}
$

Indication

Voir indication exercice 1

Exercice 4
$\begin{array} { l } { \text {Soit } E \text { le sous ensemble de } M _ { 3 } ( \mathbb { R } ) \text { defini par } E = \{ M ( a , b , c ) = } \\ { \left( \begin{array} { l l l } { a } & { 0 } & { c } \\ { 0 } & { b } & { 0 } \\ { c } & { 0 } & { a } \end{array} \right) a , b , c \in \mathbb { R } \} } \end{array}
$

1. Montrer que $ E $ est stable pour la multiplication des matrices.
2. Soit $ M(a,b,c) $ un élément de $ E .$Etuier l’inversibilité de $M(a,b,c)$ suivant les valeurs des paramètres $ a , b \hbox{ et } c \in {\mathbb{R}} $ . 
3. Calculer (lorsque cela est possible) l'inverse $ M(a,b,c)^{-1} $ de $ M(a,b,c) .$

Indication

2. et 3. On peut le faire par la méthode de Gauss-Jordan. (Avant d'utiliser un paramètre comme pivot il faut supposer qu'il est non nul.)
Remarque:
( On a pas vu en classe une caractérisation d'inversibilité en utilisant le déterminant pour les matrices d'ordre $\geq 3 $, donc à ne pas utiliser même si vous le trouvez ailleurs.)

Exercice 5
Soit $A = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 2 } & { 1 } & { - 1 } \\ { 2 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right)$
1. Calculer $A ^ { 3 } - 3 A ^ { 2 } + 2 A$
2. Quel est le reste de la division euclidienne de $X ^ { n }$ par $X ^ { 3 } - 3 X ^ { 2 } + 2 X ?$
3. Calculer $A ^ { n }$ pour $n \in \mathbb { N }$ .
4. A est-elle inversible?

Indication

1. C'est le polynôme caractéristique, le résultat est 0.
2. Pour le cas $n\geq 3$ On écrit $X ^ { n }=Q(X)(X ^ { 3 } - 3 X ^ { 2 } + 2 X)+a X^2+bX+c$. On évalue ensuite la relation en les racines de $X ^ { 3 } - 3 X ^ { 2 } + 2 X$ qui sont simples à trouver. On obtient par suite un système à résoudre pour trouver a,b et c.
3. On a évidement pour $n\geq 3,\,A^n=aA^2+bA+cI_3$

Exercice 6
Discuter suivant les valeurs de $\lambda \in \mathbb{R}$ l’inversibilité de la matrice
$\begin{pmatrix}
1&\frac 12&\frac 13\\\frac 12&\frac 13&\frac 14\\\frac 13 & \frac 14 &\lambda
\end{pmatrix}$.

Indication

Voir indication exercice 4

Exercice 7
Soit $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire d'éléments diagonaux nuls, montrer que :
$$A^{n}=0. $$

Indication

Dans le cas d'une matrice triangulaire supérieure. Fixons l'ordre de $A$ et Par récurrence sur $k$ on montre que tout coefficient $d_{ij}$ tel que $j-i\leq k-1$ de $A^k$ est nul. Lorsque $k$ atteint $n$ on obtient une puissance nulle de $A$.
Initialisation :
Lorsque k=1 c'est vérifié

On suppose que ce resultat est vrai pour un rang $k\in[[1,n-1]]$ et montrons le pour le rang k+1.
Soit $f_{ij}$ un coefficient de $A^k$ et $d_{ij}$ un coefficient de $A^{k+1}$ tel que $j-i\leq k$.
On a $d_{ij}=\sum_{l=1}^{i+k-1} f_{i l} a_{l j} +\sum_{l=i+k}^{n} f_{i l} a_{l j} $
Dans la première somme tous les $f_{i l}$ sont nuls (par hyothèse de récurrence). et dans la deuxième tous les $a_{l j}$ sont nuls (car $j-l\leq j-i-k \leq 0$)

Exercice 8
Soit $A\in M_{n}({\mathbb{R}}) $ une matrice nilpotente \textit{(c’est à dire il existe $p\in \mathbb{N}$ tel que $A^p=0$)}, on définit :
$$\exp (A)=\sum_{i\geq 0}\frac{1}{i!}A^{i}, $$
la somme étant finie et s'arrétant par exemple au premier indice $i $ tel que $A^{i}=0.$
Montrer que si $A$ et $B$ sont nilpotentes et commutent, alors $\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B).$
En déduire que $\exp(A)$ est toujours inversible et calculer son inverse.

Indication

Exercice 9
Soient $\left( x _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } }$ et $\left( y _ { n } \right) _ { n \in \mathbb { N } }$ deux suites réelles, vérifiant la relation de
récurrence linéaire suivante :
$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { n + 1 } = 2 x _ { n } \quad 3 y _ { n } } \\ { y _ { n + 1 } = 4 x _ { n } + y _ { n } } \end{array} \right.$$
avec $x _ { 0 } = 10$ et $y _ { 0 } = - 5 .$ On se propose de trouver les termes généraux de ces deux
suites.
1. Trouver $A \in M _ { 2 } ( \mathbb { R } )$ telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit
équivalente a la relation $U _ { n + 1 } = A U _ { n } ,$ ou $U _ { n } = \left( \begin{array} { c } { x _ { n } } \\ { y _ { n } } \end{array} \right)$
$\begin{aligned} \text { 3. Dans la suite on pose } D = \left( \begin{array} { c c } { 5 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } \end{array} \right) . \text { Trouver une matrice } P \in G L _ { n } ( R ) \text { tel } & \text { que : } \end{aligned}$
$$A=P^{-1}DP $$
4. Montrer que pour tout $n \in \mathbb { N }$ on a $A ^ { n } = P D ^ { n } P ^ { - 1 } ,$ en déduire $A ^ { n }$ .
5. Donner les termes généraux $x _ { n }$ et $y _ { n }$ .

Indication

Exercice 10 (Matrices stochastiques).
Soit $ D = \left\{ A = \left( a _ { i j } \right) \in \mathcal { M } _ { n } ( \mathbb { R } ) \operatorname { tq } \forall i , j , a _ { i j } \geqslant 0 \text { et } \forall i , \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { i j } = 1 \right\}$
1. Montrer que $ D $ est stable par multiplication.
2. Déterminer les matrices $A \in D $ inversibles telles que $A ^ { - 1 } \in D $

Indication

1. Si l'on pose pour $A,B \in D$, $AB=C$ avec $ C = \left( C _ { i j } \right) $, une interversion de somme permet de conclure que $\sum _ { j = 1 } ^ { n } c _ { i j } = 1$
2.Supposer que A admet un inverse B, calculer le coefficient d'ordre (i,j) de BA, et en déduire que chaque ligne de A admet au plus un coefficient non nul.
En cas de bloquage voici une correction détaillée Correction.

Exercice 11 (Théorème de HADAMARD).
Soit $A \in \mathcal { M } _ { n } ( \mathbb { C } )$ telle que : $\forall i \in \{ 1 , \ldots , n \} , \left| a _ { i , i } \right| >\sum _ { j \neq i } \left| a _ { i , j } \right| .$ Montrer que $A$ est inversible.

Indication

On peut montrer dans un premier temps qu'une matrice carrée donnée $A$ est inversible si et seulement si le système $AX=0$ n'a que 0 comme solution (dans le cours on a pas eu l'occasion de voir ce résultat). puis étudier le cas particulier de l'exercice :
a- On choisit le max des composantes de X, notons le $x_{i_0}$
b- On choisit la $i_0$ème ligne de système $AX=0$, puis par inégalité triangulaire et l'inégalité que $A$ vérifie appliquée a cette ligne on prouve que $x_{i_0}=0$ .

Exercice 12
Résoudre dans $\mathbb{R}$ le système suivant :
$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y - z - t = 4 } \\ { 4 x + 3 y - z + 2 t = 6 } \\ { 8 x + 5 y - 3 z + 4 t = 12 } \\ { 3 x + 3 y - 2 z + 2 t = 6 } \end{array} \right.$$

Indication

Exercice 13
Résoudre dans le système suivant :
$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y + ( 1 - m ) z = m + 2 } \\ { ( 1 + m ) x - y + 2 z = 0 } \\ { 2 x - m y - 3 z = m + 2 } \end{array} \right.$$
$m$ est paramètre réel.

Indication

Exercice 14 Résoudre le système :
$$\left\{ \begin{array} { l } { a i x + i y + z + 2 i t = 1 } \\ { i x - a y + 2 i z - t = i } \\ { x - 2 i y - a z + i t = 1 } \\ { 2 i x + y - 2 i z - a t = - i } \end{array} \right.$$
$a$ est un paramètre réel.

Indication

Exercice 15 Résoudre le système suivant :
$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + y + z = 1 } \\ { x + a b y + z = b } \\ { x + b y + a z = 1 } \end{array} \right.$$Exercice $16 . \quad 1 a,b sont des paramètres réels.

Indication

Exercice 16
1. Déterminer tous les polynômes $P$ de degré 2 tels que :
$P ( 1 ) = 1 , P ^ { \prime } ( 1 ) = 1$ et $P ( - 1 ) = 0$
2. Déterminer tous les polynômes $P$ de degré 3 tels que :
$P ( - 1 ) = 1 , P ( 1 ) = 0$ et $P ( 2 ) = 1$

Indication

On ramène le problème à une résolution d'un système.

Exercice 17
Dans le plan, on donne $n$ points $A _ { 1 } , \ldots , A _ { n }$ . Existe-t-il n points $M _ { 1 } , \ldots , M _ { n }$
tels que $A _ { 1 }$ soit le milieu de $\left[ M _ { 1 } , M _ { 2 } \right] , A _ { 2 }$ soit le milieu de $\left[ M _ { 2 } , M _ { 3 } \right] , \ldots , A _ { n - 1 }$ soit le
milieu de $\left[ M _ { n - 1 } , M _ { n } \right]$ et $A _ { n }$ soit le milieu de $\left[ M _ { n } , M _ { 1 } \right] .$?

Indication

Ramener le problème à l'étude d'un système d'équation linéaire.
On discutera l'existence en fonction de la parité de $n$, lorsque $n$ est impair l'existence est unique, sinon on obtiendra deux sous-cas, existence d'infinité des points ou non existence.

Exercice 18


Une usine fabrique des yaourts de trois sortes «fraises » , « vanilles » et « ananas »,le nombres des yaourts produits de chaque sorte est respectivement $p_1, p_2$ et $p_3$.
Ces yaourts conditionnés par le lots:

• Le lot 1 comprend 6 « fraise » et 6 « vanille »,
  
• Le lot 2 comprend 4 « fraise » et 2 « vanille » et 4 « ananas »,
  
• Le lot 3 comprend 2 de chaque sorte.
  

Les nombre de lots de chaque sorte est respectivement $l_1, l_2$ et $l_3$.

1. Donner le vecteur $(p_1,p_2,p_3)$ en fonction de $(l_1,l_2,l_3)$
   
2. déduire $(l_1,l_2,l_3)$ en fonction de $(p_1,p_2,p_3)$.
   
3. Sachant que l’usine fabrique 900 yaourts de fraise, 600 de vanille et 600 d’ananas, combien doit on avoir de lots de chaque sorte?
   

Indication

1.écrivez pour $i=1,2,3$ $p_i$ en fonction de $l_1,l_2$ et $l_3$ ( c'est un système) , puis une écriture matricielle répond à la question. 2.Résoudre le système obtenu.