ECS TD4 : Nombres complexes

Exercice 1
Soient a, b ∈ C tel que ∣a∣ < 1 et ∣b∣ < 1 montrer que : $\left| \frac{a-b}{1-\overline{a} b } \right| <1 $

Indication

Montrer que $1 - \left| \frac { z - a } { 1 - \overline { a } z } \right| ^ { 2 } = \frac { \left( 1 - | a | ^ { 2 } \right) \left( 1 - | z | ^ { 2 } \right) } { | 1 - \overline { a } z | ^ { 2 } }$, en déduire le résultat.

Exercice 2
Déterminer le module et un argument de e^ia + e^ib, a et b sont des réels.

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 3
Soit z un nombre complexe non nul différent de 1, déterminer le la partie réelle et imaginaire de : $\frac{1+z}{1-z} $.

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 4
Déterminer et construire dans chacun des cas suivants l’ensemble des points M(z), z ≠ 1 :

1. $\left| \frac{1+z}{1-z} \right|=2$
2. $\frac{1+z}{1-z} \in \mathbb{R}$
3. $\frac{1+z}{1-z} \in i\mathbb{R}$

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 5

Montrer que l’application $z\mapsto\frac{1+z}{1-z}$ induit une bijection de $U\backslash \left\{ 1 \right\} $ sur $i \mathbb{R}$

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 6

Soit s = (1 − z)(1 − iz).

1. Déterminer l’ensemble des images des nombres complexes z tel que s soit réel.
2. Déterminer l’ensemble des images des nombres complexes z tel que s soit imaginaire pur.

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 7
Déterminer les nombres complexes z tels que z, $\frac{1}{z}$ et 1 − z aient le même module.

Indication

Etablir une condition sur $|z|$ puis $Re(z)$ . Ceci donne deux possibiltés de $Im(z)$.

Exercice 8
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z dans chacun des cas suivants :

1. $\displaystyle{\left|\frac{z-3}{z-5}\right|=1},$
2. $\displaystyle{\left|\frac{z-3}{z-5}\right|= \frac{\sqrt{2}}{2}}.$

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 9
Soient A(a),  B(b)et C(c) trois points du plan deux à deux distincts, montrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

1. ABC équilatéral;
2. j et j² sont des racines de l’équation aZ² + bZ + c = 0
3. a² + b² + c² = ab + ac + bc
4. $\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}=0$

Indication

$1. \iff 2.$. On peut introduire j en utilisant la caractérisation $\text{ABC équilatéral } \iff \frac{c-a}{b-a}=e^{i\pi/3} \text{ ou } \frac{c-a}{b-a}=e^{-i\pi/3} $ , puis établir un lien entre $e^{-i\pi/3} \text{, } e^{i\pi/3} \text{ et } j$ . Dans la suite en utilise $1+j+j^2=0$.
$2 \iff 3$ et $3 \iff 4$ découlent facilement.

Exercice 10
Résoudre dans C l’équation : (z − 1)ⁿ = (1 + z)ⁿ

Indication

On caractérise l'égalité $x (z-1)^n=(z+1)^n $ par module et argument principal.

Exercice 11
Soit $n\in \mathbb{N}^*$

, et $x\in \mathbb{R}$, calculer les sommes suivantes:

1. $\sum ^n_{k=0}C_n^k \cos (x+ky)$
2. $\sum ^n_{k=0} \frac{\cos (kx)}{(\cos x )^k} $ et $\sum ^n_{k=0} \frac{\sin (kx)}{(\cos x )^k} $, avec $x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\,k\in \mathbb{Z} $.
3. $D_n=\sum ^n_{k=-n} e^{ikx}$ et $K_n=\sum ^n_{k=0} D_k$ , avec $x\neq 2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 12
Soit n ∈ N, Calculer la somme ∑_z ∈ Un∣z − 1∣

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 13
Résoudre dans R l’équation : $\sum ^n_{k=0} \frac{\cos (kx)}{(\cos x )^k}=0$

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 14
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:

1. $z^2-2z \text{ cos } \theta +1=0, \text{ avec }\theta$. réel.
2. $z^n= \overline{z}$ , n ≥ 2
3. $z^n + 2 \sum_{k=1}^{n-1} z^k +1= 0 $
4. $\sum_{k=0}^{4} (-1)^k z^k = 0$
5. $iz^8+iz^4+i+1=0$

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 15
Montrer que les solutions de l’équation $nz^n - \sum_{k=0}^{n-1}z^k=0$ ont un module inférieur ou égal à 1.

Indication

Vous pouvez comparer $|\sum\limits_{k=0}^{n-1}Z^k|$ et $|Z^n|$, lorsque ∣Z∣ > 1
. En déduire le résultat par contraposé.

Exercice 16
pour z ∈ C on pose : $ \textbf{ch } z= \frac{e^z+e^{-z}}{2}$ et $\textbf{sh } z= \frac{e^z-e^{-z}}{2} $ et $\textbf{th } z = \frac{\textbf{sh } z}{\textbf{ch } z} $

1. pour quels nombres complexes z, th z existe.
2. résoudre dansC l’équation th z = 0 .
3. résoudre dans C le système :
   $$\left \{
   \begin{array}{c @{} c}
   |\text{Im}(z)|<\frac{\pi}{2} \\
   |\textbf{th } z|< 1 \\
   \end{array}
   \right.$$
   
4. Montrer que th réalise une bijection de $\Delta=\left\{ z\in \mathbb{C} /|Im(z)|<\frac{\pi}{4} \right\} $ sur U

Indication

1 $\operatorname { ch } z = 0 \Leftrightarrow e ^ { z } + e ^ { - z } = 0 \Leftrightarrow - e ^ { 2 z } = 1 \Leftrightarrow e ^ { 2 z + i \pi } = 1 \Leftrightarrow 2 z + i \pi \in 2 i \pi \mathbb { Z } \Leftrightarrow z \in \mathfrak { i } \left( - \frac { \pi } { 2 } + \pi \mathbb { Z } \right)$

Exercice 17
Soit Z[i] = {a + ib ;  a, b ∈ Z}.

1. Montrer que si α et β sont dans Z[i] alors α + β et αβ le sont aussi.
2. Trouver les élements inversibles de Z[i], c’est-à-dire les éléments α ∈ Z[i] tels qu’il existe β ∈ Z[i] avec αβ = 1.
3. Vérifier que quel que soit ω ∈ C il existe α ∈ Z[i] tel que ∣ω − α∣ < 1.
4. Montrer qu’il existe sur Z[i] une division euclidienne, c’est-à-dire que, quels que soient α et β dans Z[i] il existe q et r dans Z[i] vérifiant :
   α = βq + r  avec  ∣r∣ < ∣β∣.
   (Indication : on pourra considérer le complexe $\frac{\alpha}{\beta}$)

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 18
Soit (a_n)_n ∈ N et (B_n)_n ∈ N deux suite complexes, On définit les suites (A_n)_n ∈ N et (b_n)_n ∈ N pour tout n ∈ N, A_n = ∑_k = 0ⁿa_k et b_n = B_n + 1 − B_n.

1. Montrer que pour tout n ∈ N^* : ∑_k = 0ⁿB_ka_k = A_nB_n − ∑_k = 0^n − 1A_kb_k.
2. Application : pour tout complexe x calculer ∑_k = 0ⁿkx^k.
3. En utilisant la dérivé retrouver la somme ∑_k = 0ⁿkx^k pour tout réel x.

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 19
Calculer les sommes suivantes :

1. $\sum \limits_{k=0}^n \frac{1}{k(k+1)}$.
2. $\sum \limits_{k=0}^n k k!$.
3. $\sum \limits_{k=0}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.
4. $\sum \limits_{k=0}^n \frac{k}{(k+1)!}$.
5. $\sum \limits_{k=0}^n k^p$ ; avec p ∈ {2, 3, 4}

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 20
Calculer les sommes suivantes:

1. $\sum \limits_{ 1\leq i,j \leq n} ij$.
2. $\sum \limits_{1\leq i<j \leq n} j$.
3. $\sum \limits_{1\leq i,j \leq n} min(i,j)$ et $\sum \limits_{1\leq i,j \leq n} max(i,j)$
4. $\sum \limits_{1\leq i,j \leq n} |i-j|$
5. $\sum \limits_{1\leq i<j \leq n} \frac{i}{j}$.

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 21
Calculer les produits suivants:

1. $\prod \limits_{k=1}^n \left( \frac{1}{1+k} \right)$
2. $\prod \limits_{k=1}^n \cos\left( \frac{a}{2^k} \right)$, avec a ∈ ]0, 2π]

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 22

1. Montrer que : $\sum \limits_{k=0}^{E(n/2)} {{n}\choose {2k}} = \sum \limits_{k=0}^{E((n-1)/2)} {{n}\choose {2k+1}}=2^{n-1}$, n ∈ N^*
2. Calculer les sommes :
   
   1. $\sum \limits_{k=0}^{n-p} {{p+k}\choose {p}} $, avec 0 ≤ p ≤ n
   2. $\sum \limits_{k=0}^n k {{n}\choose {k}}$
   3. $\sum \limits_{k=0}^n \frac{{{n}\choose {k}}}{k+1} $
   4. $\sum \limits_{k=0}^n {{n}\choose {k}}^2 $
   5. $\sum \limits_{k=0}^{E(n/3)} {{n}\choose {3k}}$