ECS TD5 Polynpômes

Exercice 1
Déterminer les degrés et coeffcients dominants des polynômes suivants :

1. $X ^ { 3 } - X ( X - 2 + i ) ^ { 2 } , $

2. $( X + 1 ) ^ { n } - ( X - 1 ) ^ { n } ,$

3. $( X + 1 ) ^ { 2 n } - X ^ { 2 n - 1 } ( X + 2 n )$

4. $ \prod_{ k = 0 } ^ { n } ( 2 X - k )$

Indication

Exercice 2
Effectuer les divisions euclidiennes suivantes dans $\mathbb { R } [ X ] :$
$ \text { a) } X ^ { 3 } + 1 \text { par } X ^ { 2 } + X + 1 $
$\text { b) } 3 X ^ { 5 } + 4 X ^ { 2 } + 1 \text { par } X ^ { 2 } + 2 X + 3$
$\text { c) } 4 X ^ { 4 } + X ^ { 3 } - 2 X ^ { 2 } - 5 \text { par } 2 X ^ { 2 } + X + 1 $

Indication

Exercice 3
Sans développer, montrer que le polynôme $P ( X ) = ( X - 3 ) ^ { 2 } - 2 ( X - 2 ) ^ { 2 } + ( X - 1 ) ^ { 2 } - 2$ est le polynôme nul.

Indication

Exercice 4

Soit $P \in \mathbb { R } [ X ]$
1. Déterminer le degré du polynôme $P ( X + 1 ) - P ( X )$
2. Déterminer les polynomes $P \in \mathbb { R } [ X ]$ tels que $P ( 0 ) = 0$ et $P ( X + 1 ) - P ( X ) = X ^ { 2 }$
3. En déduire par somme, $\sum _ { k = 1 } ^ { n } k ^ { 2 }$

Indication

Exercice 5
Vérifier que $-1$ est une racine triple de
$P ( X ) = X ^ { 5 } + 2 X ^ { 4 } + 2 X ^ { 3 } + 4 X ^ { 2 } + 5 X + 2$, en déduire une factorisation de $P$ dans $\mathbb{C}[X]$ puis dans $\mathbb{R}[X]$

Indication

Exercice 6
Déterminer l’ordre de multiplicité de la racine 1 :
$P ( X ) = X ^ { 2 n } - n X ^ { n + 1 } + n X ^ { n - 1 } - 1$, $Q ( X ) = X ^ { 2 n + 1 } - ( 2 n + 1 ) X ^ { n + 1 } + ( 2 n + 1 ) X ^ { n } - 1$

Indication

Il suffit d'utiliser la caractérisation de la multiplicité d'une racine en utilisant la dérivée formelle. le résultat final est:
Pour $P$ on obtient $P(1)=P'(1)=P''(1)=0$ et $P^{(3)}(1)\neq 0$, pour $Q$ on obtient $Q(1)=Q'(1)=0$ et $Q''(1)\neq 1$. Il reste à conclure.

Exercice 7
Déterminer les polynômes P à coefficients réels vérifiant les propriétés suivantes : Le degré de P est 5, son coefficient dominant est 3, 1 est racine double, 2 et 3 + 2i sont racines simples de P .

Indication

Exercice 8
Factoriser dans $\mathbb { C } [ X ]$ puis dans $\mathbb { R } [ X ]$ les polynômes:
$X ^ { 4 } - X ^ { 2 } + 1 , X ^ { 4 } + 1$ puis $X ^ { 4 } + 3 X ^ { 2 } + 4$

Indication

Exercice 9
Factoriser dans $\mathbb { R } [ X ] X ^ { 4 } + 3 X ^ { 3 } - 14 X ^ { 2 } + 22 X - 12$ sachant que $i + 1$ est racine dans $\mathbb { C }$

Indication

Exercice 10
Dans les cas suivants trouver tout les polynômes P et Q vérifiant :

1. $\mathrm { Q } ^ { 2 } (\mathrm { X }) = \mathrm { XP } ^ { 2 } (\mathrm { X })$.

2. $\mathrm { P } \circ \mathrm { P } = \mathrm { P }$.

3. $\mathrm { P } \left( \mathrm { X } ^ { 2 } \right) = \mathrm { P } ( \mathrm { X })$

4. $\mathrm {P} (\mathrm {X}+1) = \mathrm {XP} (\mathrm {X})$

Indication

Exercice 11
Dans les cas suivants trouver tout les polynômes P vérifiant :
1.$ \mathrm { P } - \mathrm { XP } ^ { \prime } = \mathrm { X }$
2. $\mathrm { P } ^ { 2 } = 9 \mathrm { P } \quad$
3. $\left( \mathrm { X } ^ { 2 } + 4 \right) \mathrm { P } ^ { \prime \prime } = 6 \mathrm { P }$

Indication

Exercice 12
Dans les des cas suivants trouver tout les polynômes P vérifiant :

1. $\mathrm { P } \left( \mathrm { X } ^ { 2 } \right) = \mathrm { XP } ( \mathrm { X } )$

2. $\mathrm { P } ( \mathrm { X } ) ^ { 2 } = \mathrm { XP } ( \mathrm { X } + 1 )$

3. $\mathrm { P } ( \mathrm { X } ) - \mathrm { P } ( \mathrm { X } - 1 ) = \mathrm { X } ^ { 2 }$

4. $( \mathrm { X } + 3 ) \mathrm { P } ( \mathrm { X } ) = \mathrm { XP } ( \mathrm { X } + 1 )$

Indication

Exercice 13

Déterminer les polynômes non-constants P $\in \mathbb { R } [ \mathrm { X } ]$ tels que $\mathrm { P } ^ { \prime }$ divise $\mathrm { P }$.

Indication

Exercice 14
Soit $P \in \mathbb { K } [ X ]$ tel que $P ( X + 1 ) = P ( X )$, montrer que $P$ est un poylnôme constant.

Indication

Exercice 15
Montrer qu’il existe un unique polynôme $\mathrm{P} \in \mathbb { R } [ X ] $ de degré 3 tel que pour tout $\theta \in \mathbb{R} $, $\mathrm{P}(\sin \theta)=\sin (3\theta)$

Indication

Exercice 16
Soient $x_1,x_2,…x_n\in \mathbb{C}$ , pour tout $k\in [|1,n|]$ on définit:

$$\sigma _ { k } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) = \sum\limits_ { 1 \leq i _ { 1 } < i _ { 2 } < \cdots < i _ { k } \leq n } x _ { i _ { 1 } } x_ { i _ { 2 } } \cdots x _ { i _ { k } }$$

1.  Soit $n\in \mathbb{N}^*$, déterminer $\sigma_1\left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) $ et $\sigma_n\left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \right) $ 
2.  Dans cette question on suppose que $n=2$ et que $x_1,x_2$ sont racines d’un polynôme $P$ de degré 2.
    a) Déterminer $\sigma _ { 1 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2} \right) $ et $\sigma _ { 2 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2} \right) $
    b) Pour tout $k\in [|1,2 |]$ rappeler la relation entre $\sigma _ { k} \left( x _ { 1 } , x _ { 2} \right) $ et les coefficients de $P$.
3.  Dans cette question on suppose que $n=3$ et que $x_1,x_2,x_3$ sont racines d’un polynôme $P$ de degré 3.
    a) Déterminer $\sigma _ { 1 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2}, x _ { 3} \right) $ et $\sigma _ { 2 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2}, x _ { 3} \right) $ et $\sigma _ { 3 } \left( x _ { 1 } , x _ { 2}, x _ { 3} \right) $
    b) Pour tout $k\in [|1,3 |]$ établir une relation entre $\sigma _ { k } \left( x _ { 1 } , x _ { 2}, x _ { 3} \right) $ et les coefficients de $P$. 
4.  Application: Résoudre dans $\mathbb{C}^3$ le système $$ \left\{ \begin{array} { l } { x + y + z = 1 } \\ { \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { y } + \frac { 1 } { z } = 1 } \\ { x y z = - 4 } \end{array} \right.$$

Indication

Exercice 17[ Polynômes d'interpolation de Lagrange]
Soit $n \in \mathbb { N } ,$ et $a _ { 0 } , a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ( n + 1 )$ réels 2 à 2 distincts.
Pour tout $k \in [ 0 , n ] ,$ déterminer l'unique polynôme $L _ { k }$ de degré $n$ tel que :
$\forall j \in [ 0 , n ] , L _ { k } \left( a _ { j } \right) = 0$ si $j \neq k$ et $L _ { k } \left( a _ { k } \right) = 1$

Indication

La première donnée implique $L_k=\alpha \prod\limits _ { i = 0 , i \neq k } ^ { n } (X-a_i)$.
La deuxième implique $\alpha=\prod\limits _ { k = 0 , k \neq i }^{n} \frac{1}{a_k-a_i}$
Alors $L _ { k } ( x ) = \prod\limits _ { i = 0 , i \neq k} ^ { n } \frac { X - a _ { i } } { a _ { k } - a _ { i } }$.
N'oubliez pas d'établir la réciproque.

Exercice 18[Polynôme de Tchebychev]
On définit par récurrence la suite de polynómes $( \mathrm { P}_n)$:

$$\left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { P } _ { 0 } = 1 , } & { \mathrm { P } _ { 1 } = \mathrm { X } } \\ { \forall n \in \mathbb { N } , } & { \mathrm { P } _ { n + 2 } = \mathrm {2 XP } _ { n + 1 } - \mathrm { P } _ { n } } \end{array} \right.$$

1. Préciser $P _ { 2 } , P _ { 3 } , P _ { 4 }$ .
2. Déterminer le coefficient dominant de $P _ { n }$ ainsi que son degré.
3. Etudier la parité des polynômes $P _ { n }$ .
4. Montrer que pout tout $n \in \mathbb { N }$ et tout $x \in \mathbb { R } , P _ { n } ( \cos ( x ) ) = \cos ( n x )$
5. En déduire les racines de $P$ ainsi que sa forme factorisée.

Indication