TD3 ECS : Nombres réels

Exercice 1
Soient x, y deux réels non nuls montrer que:

1. 
   $ \max (|x|,|y|) \left|\frac{x}{|x|}-\frac{y}{|y|} \right|\leq 2|x-y|$
   
2. 
   $\frac{|x+y|}{1+|x+y|}\leq \frac{|x|}{1+|x|}+\frac{|y|}{1+|y|}$
   

Indication

1.Etude de cas.
2. On peut utiliser la monotonie de la fonction : $x \mapsto \frac{x}{1+x} $

Exercice 2 (Autre démonstration de CS)

1. Montrer que pour tout couple $(x,y)\in \mathbb R^2$, $xy\leq \frac{1}{2}(x^2 + y^2)$
2. En déduire que pour a₁, .., a_n, b₁, .., b_n des réels on a: $\sum\limits_{k=1}^{n}|a_k b_k| \leq \frac{1}{2}\left( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2 + \sum\limits_{k=1}^{n} b_k^2 \right) $
3. Déduire l’inégalité de Cauchy Schwarz.

Indication

3.Dans le cas non nul on pose $x_k=\frac{a_k}{\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2}} $, puis on applique 2

Exercice 3
Montrer que pour tout $a_1,..,a_n\in\mathbb R$ on a :

1. $\sum\limits_{k=1}^{n} a_k \leq \sqrt{n} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} a_k^2 \right)^{\frac{1}{2}} $
2. $\sum\limits_{k=1}^{n} a_k \leq \left( \sum\limits_{k=1}^{n} |a_k|^{2/3} \right)^{\frac{1}{2}} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} |a_k|^{4/3} \right)^{\frac{1}{2}} $

Indication

1. et 2. Inégalité de Cauchy Schwarz

Exercice 4
Déterminer dans le cas d’existence la borne supérieure et la borne inférieure de l’ensemble E dans chacun des cas:

1. $E=\{ \frac{1}{n}-\frac{1}{p} / \, (n,p)\in {\mathbb N^*}^2\}$
2. $E=\{ (-1)^n+\frac{1}{p}\, / \, (n,p)\in \mathbb N \times \mathbb N^*\}$
3. $E=\{ \frac{x+1}{x+2}\,/\, x\, \in \, \mathbb R \text{ et } x\leq -3\}$
4. $E=\{ \frac{2xy}{x^2+y^2}\,/ \,x,y\in \mathbb R^*\}$
5. $E=\{\frac{(-1)^p}{p}+\frac{2}{p} \; / \; p\in \mathbb N^* \} $

Exercice 5
Soit A une partie non vide majorée de $\mathbb R$, supposons que $sup(A) \notin A$ montrer que ∀ε > 0,  A_ε = {a ∈ A/sup(A) − ε < a} est infini.

Indication

Par l'absurde supposer que A_ε est fini et poser a=max(A_ε), alors entre a et sup(A) il n'y a pas d'éléments de A

Exercice 6
On dit qu’un sous ensemble I de $\mathbb R$ est ouvert lorsque I = ∅ ou :
∀x ∈ I,  ∃ε > 0;  ]x − ε, x + ε[ ⊂ I.
et on dit que c’est fermé si son complémentaire dans $\mathbb R$ est ouvert.

1. Vérifier que :
   
   • ∅ et $\mathbb R$ sont à la fois ouverts et fermés.
   • la réunion de deux ouverts est ouverte.
   • L’intersection de deux ouverts est ouverte.
   • $\mathbb Z$ est fermé .
2. Soit I un intervalle ouvert, montrer qu’ils n’existent pas de sous ensembles non vides ouverts A et B tel que I = A ∪ B et A ∩ B = ∅. On pourra considérer l’ensemble E = {t ∈ [0, 1]; ta + (1 − t)b ∈ I} pour un certain (a, b) ∈ A × B

Indication

Pour la deuxième question vous pouvez répondre à ces questions :

1.Montrer que E admet une borne supérieure, que l’on appellera T. (On ne demande pas de trouver T).
2. Montrer (en utilisant le fait que A est ouvert) que $𝑎 + T(b - a) \notin A$.
3.En déduire (en utilisant le fait que I est un intervalle) que a + T(b − a) ∈ B.
4. Montrer (en utilisant le fait que B est ouvert) que ceci contredit le fait que T soit la borne supérieure de E.

Exercice 7
Soit I et J deux ensembles non vides, et (x_i, j)_{(i, j) ∈ I × J} une famille de réels. On pose : E = {x_i, j ∣ (i, j) ∈ I × J}, pour tout i ∈ I: A_i = {x_i, j ∣ j ∈ J} .
Montrer que:
Eest majoré ⇔ ∀i ∈ I,   A_iest majoré et et {sup(A_i) ∣ i ∈ I}est majoré
et dans ce cas on a:
sup(E) = sup({sup(A_i) ∣ i ∈ I})

Indication

Exercice 8
Soit f une application strictement croissante du segment [0, 1] dans [0, 1].
On suppose que f(0) > 0 et on pose A = {x ∈ [0, 1] ∣ f(x) > x}

1. Montrer que A admet une borne supérieure qu’on notera α.
2. Vérifier que α ∈ [0, 1], et montrer qu’il s’agit d’un point fixe de f.

Indication

Exercice 9
Soient A et B deux parties non vides bornée de $\mathbb R$, tel que pour tout (a, b) ∈ A × B,  a ≤ b, montrer que sup(A) ≤ inf(B)

Indication

Fixer b ∈ B, montrer que sup(A) ≤ b, puis en faisant varier b vous obtenez sup(A) ≤ inf(B)

Exercice 10
On pose : $A=\{ \frac{\lfloor n \sqrt{2} \rfloor }{n} / n \in {\mathbb N }^* \} $

1. Montrer que A admet un minimum qu’on déterminera.
2. Vérifier que $\forall n \in \mathbb N ^*,\; \sqrt{2}-\frac{1}{n}< \frac{\lfloor n \sqrt{2} \rfloor }{n} < \sqrt{2}$
3. On déduire que A admet une borne supérieur qu’on déterminera.
4. A admet-elle un maximum?

Indication

Exercice 11(Diamètre d’une partie) Soit H une partie non vide bornée de $\mathbb R$ , montrer que:
sup({∣x − y∣ ∣ x, y ∈ H}) = sup(A) − inf(A). ( on l’appelle diamètre de H).

Indication

Inégalité triangulaire pour montrer que sup existe puis double inégalité.

Exercice 12 (Distance d’un point à une partie) Soit A une partie non vide de $\mathbb R$ .

1. Montrer que si $x\in \mathbb R$, alors l’ensemble {∣x − a∣  ∣  a ∈ A} admet une borne inférieure qu’on notera d(x, A) (distance de x à A).
2. Donner pour $x\in \mathbb R$, $d(x,\mathbb Q)$ et $d(x,\mathbb Z)$.
3. Montrer $\forall x \in \mathbb R $ et $\forall y \in \mathbb R$, ∣d(x, A) − d(y, A)∣ ≤ ∣x − y∣

Indication

Exercice 13
Soit A une partie majorée de R d’au moins deux éléments et x un élément de A.

1. Montrer que si x < supA, alors sup(A \ {x}) = supA.
2. Montrer que si sup(A \ {x}) < supA, alors x = supA.

Indication

Exercice 14
Soient x, y des réels montrer que :  ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + ⌊x + y⌋ ≤ ⌊2x⌋ + ⌊2y⌋

Indication

Discuter selon {x} + {y}.avec {x} désigne la partie fractionnaire de x (ie {x}=x-⌊x⌋ )
Si {x} + {y} < 1 c’est facile.
Si {x} + {y} ≥ 1 alors on a {x} ≥ 1/2 ou {y} ≥ 1/2, ce qui donne ⌊2x⌋ = 2⌊x⌋ + 1 ou ⌊2y⌋ = 2⌊y⌋ + 1 et ceci permet de déduire.

Exercice 15
Montrer que pour tout $x\in \mathbb R$ et tout $n\in \mathbb N^*$: $ \sum\limits_{k=0}^{n-1}\lfloor \frac{x+k}{n} \rfloor = \lfloor x \rfloor $

Indication

Poser $ f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\lfloor \frac{x+k}{n} \rfloor - \lfloor x \rfloor $ et étudier la périodicité de cette fonction

Exercice 16
Montrer que pour tout $x\in \mathbb R$ et tout $n\in \mathbb N^*$: $\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \rfloor = \lfloor x \rfloor$

Indication

Raisonner par double inégalité en partant de ⌊nx⌋≤nx, puis de ⌊x⌋≤x.

Exercice 17
Monter que $\forall n \in \mathbb N, \, \lfloor \sqrt{n}+\sqrt{n+1} \rfloor= \lfloor \sqrt{4n+1} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+2} \rfloor = \lfloor \sqrt{4n+3} \rfloor$

Indication