TD1 ECS : Raisonnement, notion d’ensembles et applications

Exercice 1
Soient les quatres assertions suivantes :

• $ \ \forall x \in \mathbb R \quad \exists y\in \mathbb R \quad \exists a \in \mathbb R \quad x<a<y $
• $ \ \forall x\in \mathbb R \quad \exists y\in \mathbb R \quad x+y > 0 \ ;$
• $ \ \forall x\in \mathbb R \quad \forall y\in \mathbb R \quad x+y > 0 \quad ; \quad .$
• $\exists ! k \in \mathbb Z \quad -\pi < \frac{\pi}{3}+2k\pi \leq \pi $

1. Les assertions sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.

Exercice 2
Soit f une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, traduire en terme de quantificateurs les énoncés suivants :

1. f est croissante.
2. f est bornée.
3. f ne s’annule jamais.
4. f n’est pas la fonction nulle.
5. f est impaire

Exercice 3
Montrer que : $\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \mathbb N \text{ tel que }
(n \geq N \Rightarrow \frac{1}{3}-\epsilon < \frac{n + 2}{3n + 1} <\frac{1}{3} + \epsilon).$

Indication

Pour epsilon fixé on cherche un rang N convenable. Pour cela des écritures équivalentes à $|\frac{n+2}{3n+1}-1/3|<\epsilon $ donne $n>5/9\epsilon -1/3$ , il suffit alors de choisir un rang N convenable.

Exercice 4
Soient a, b deux rationnels.

1. Montrer que $a+b\sqrt 2 =0 \Rightarrow a=b=0$
2. en déduire que pour tout rationnels a, b, aʹ, bʹ on a :
   $a+b\sqrt 2 = a'+b' \sqrt 2 \Rightarrow a=a' et \; b=b'$

Exercice 5
Montrer que :

1. $\forall n \in \mathbb N^* \; \sum _{i=0}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$
2. $\forall n \in \mathbb N^* \; \sum _{i=0}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
3. $\forall n \in \mathbb N^* \; \sum _{i=0}^{n} i^3= \frac{\left(n(n+1)\right)^2}{4}$

Exercice 6
Démontrer que, pour tout $n\in \mathbb N ^*$, on a 2^n − 1 ≤ n! ≤ nⁿ.
Exercice 7
Dans chacun des cas suivants, déterminer f(I) puis vérifier que f réalise une bijection de I sur J = f(I) puis préciser f^− 1 :

1. f(x) = x² − 4x + 3, I = ] − ∞, 2].
2. $f(x)=\frac{2x-1}{x+2}$, I = ] − 2,  + ∞[.
3. $f(x)=\sqrt{2x+3}-1$, $I=\left[-\frac{3}{2},+\infty\right[$.
4. $f(x)=\frac{x}{1+|x|}$, $I=\mathbb R$.

Exercice 8
Soit f une fonction réelle définie sur [0; 1] et vérifiant:

• ∀x ∈ [0; 1]; f(x) ∈ [0; 1]
• ∀(x; y) ∈ [0; 1]²; ∣f(x) − f(y)∣ ≥ ∣x − y∣

1. Montrer que (f(0) = 0 et f(1) = 1)ou(f(0) = 1 et f(1) = 0)
2. On suppose que f(0) = 0, montrer que : ∀x ∈ [0; 1]; f(x) = x

Exercice 9
On considère une famille finie d’ensembles distincts deux à deux. Montrer que l’un au moins de ces ensembles ne contient aucun des autres.

Exercice 10
Montrer que :

1. ∀A, B, C ∈ P(E) A ∪ B = B ∩ C ⇒ A ⊂ B ⊂ C
2. ∀A, B, C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩ Cet A ∪ B = A ∪ C) ⇒ B = C.

Exercice 11
Soient E et F deux ensembles et f : E → F une application.

1. Montrer que : ∀A ⊂ E;  A ⊂ f^− 1(f(A)) .
2. Montrer que : ∀B ⊂ F;  f(f^− 1(B)) ⊂ B.
3. Montrer que : ∀A ⊂ F;  f^− 1(F ∖ A) = E ∖ f^− 1(A) .
4. Montrer que : f est injective si et seulement si ∀A, B ∈ P(E);  f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
5. Montrer que : ∀A ⊂ E; ∀B ⊂ F;   f(A) ∩ B = ∅ ⇔ A ∩ f^− 1(B) = ∅

Exercice 12
Soient E un ensemble et A et B deux parties de E et f définie par:
$$\begin{array}{ccccc}
f & : & \mathcal{P}(E) & \to & \mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B) \\
& & X & \mapsto & (A \cap X; B \cap X) \\
\end{array}$$

1. Montrer que f est injective si et seulement si A ∪ B = E
2. Montrer que f est surjective si et seulement si A ∩ B = ∅

Exercice 13
Soient E et F deux ensembles et f : E → F une application.

1. Montrer que f est injective si et seulement si pour tout g : H → E et tout h : H → E on a : f ∘ g = f ∘ h ⇒ g = h
2. Montrer que f est surjective si et seulement si pour tout g : F → H et tout h : F → H on a : g ∘ f = h ∘ f ⇒ g = h

Exercice 14
Soit f une application d’un ensemble non vide E dans lui-même telle que f ∘ f = f. Montrer que f est injective si et seulement si f est surjective.

Exercice 15
Soit X un ensemble si A ⊂ X on note χ_A la fonction caractéristique de A. Montrer que : Ψ : P(E) → F(E, {0; 1}), A ↦ χ_A est bijective.

Exercice 16
Soient E et F deux ensembles et f ∈ F(E; F).

1. Montrer que : f est injective si et seulement si ∀A ⊂ E,  f^− 1(f(A)) = A.
2. Montrer que : f est surjective si et seulement si ∀B ⊂ F,  f(f^− 1(B)) = B.
3. Soient h l’application de l’ensemble des parties de F vers l’ensemble des parties de E qui à B associe f^− 1(B)
   
   • Montrer que : h injective si et seulement si f est surjective.
   • Montrer que : h surjective si et seulement si f est injective.
   • En déduire que : h est bijective si et seulement si f est bijective.

Exercice 17 :( Théorème de CANTOR )

1. Montrer qu’il existe une injection de E dans P(E).
2. Montrer qu’il n’existe pas de bijectionf de E dans P(E).
   ( Indication : On pourra considérer la partie $A=\{ x\in E / x\notin \ f(x)\}$ )